「笔记」概率论与数理统计——数字特征

随机变量的数字特征

期望

定义

$$
\begin{align}
& x \sim p_i \implies EX = \sum_i x_i P_i\\
& x \sim f(x) \implies EX = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\, \mathrm{d}x \\
\\
& x \sim p_i , Y = g(x) \implies EY = \sum_i g(x_i) P_i \\
& x \sim f(x) , Y = g(x) \implies EY = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)\, \mathrm{d}x
\\
\end{align}
$$

性质

$$
E \left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i E X_i \\
Ec = c \; , \; E(EX) = EX \\
E(aX+c) = aEX + c \; , \; E(X \pm Y) = EX \pm EY
$$

若 $X,Y$ 独立
$$
EXY = EX \cdot EY
$$

方差

定义

$$
Dx = E\left[\left(X-EX\right)^2\right] = E(X^2) - (EX)^2 \\
\Downarrow \\
E(X^2) = (EX)^2 + DX \\
\Downarrow \\
E(X^2) \geq (EX)^2
$$

性质

$$
Dc = 0 \; , \; D(aX + b) = a^2 DX \\
D(X \pm Y) = DX + DY \pm 2Cov(X,Y) \\
$$

$$
\begin{cases}
& D(X \pm Y) = DX + DY \pm 2Cov(X,Y)\\
& D\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n DX_i + 2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n cov(X_i,Y_i)
\end{cases}
$$

若 $X,Y$ 独立
$$
D(aX+bY) = a^2 DX + b^2 DY
$$

协方差

定义

$$
Cov(X,Y) = E\left[(X-EX)(Y-EY)\right] = E(XY) - EX \cdot EY
$$

$$
E(XY) =
\begin{cases}
& \sum_i \sum_j x_i y_j P{X = x_i,Y = y_i} \;{(离散)} \\
& \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \;{(连续)}
\end{cases}
$$

相关系数

$$
\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}} \; , \; |\rho_{XY}| \leq 1
$$

性质

$$
Cov(X,X) = DX \; , \; \rho_{XX} = 1 \\
Cov(X,Y) = Cov(Y,X) \\
Cov(X,c) = 0 \; , \; Cov(aX+b,Y) = aCov(X,Y)\\
Cov(X_1 + X_2,Y) = Cov(X_1,Y) + Cov(X_2,Y)
$$

若 $Y = aX+b$,则
$$
\rho_{XY} =
\begin{cases}
1 & \quad a > 0\\
-1 & \quad a < 0
\end{cases}
$$

常用分布的期望和方差列表

分布 分布列 $p_k$ 或概率密度 $f(x)$
$0 - 1$ 分布 $B(1,p)$ $P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1$
二项分布 $B(n,p)$ $P\{X=k\} = C^k_n p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,\dots,n$
泊松分布 $P(\lambda)$ $P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,\dots$
几何分布 $G(p)$ $P\{X=k\} = (1-p)^{k-1}p,k=1,2,\cdots$
正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\} , -\infty < x < +\infty$
均匀分布 $U(a,b)$ $f(x) = \frac{1}{b-a},a < x < b$
指数分布 $E(\lambda)$ $f(x) = \lambda e^{-\lambda x},x>0$
分布 期望 方差
$0 - 1$ 分布 $B(1,p)$ $p$ $p(1-p)$
二项分布 $B(n,p)$ $np$ $np(1-p)$
泊松分布 $P(\lambda)$ $\lambda$ $\lambda$
几何分布 $G(p)$ $\frac{1}{p}$ $\frac{1-p}{p^2}$
正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ $\mu$ $\sigma^2$
均匀分布 $U(a,b)$ $\frac{a+b}{2}$ $\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布 $E(\lambda)$ $\frac{1}{\lambda}$ $\frac{1}{\lambda^2}$
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